Objetivo General

Identificar si las raíces de una ecuación cuadrática son reales o complejas mediante el uso de la fórmula del discriminante sin tener que resolver la ecuación

Discriminante

Es la expresión que aparece, en las fórmulas, bajo el signo de raíz, b² - 4a, y se representa por la letra griega delta mayúscula, D.

        D = b² - 4ac.

Dependiendo del valor del discriminante, una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución.

Se distinguen tres casos:

a)     D > 0.  Si el discriminante es positivo, la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones distintas:

        

b)    D = 0.  Si el discriminante es cero, las dos soluciones anteriores coinciden, teniendo la ecuación una única solución, y en este caso es una solución doble:

        Por lo tanto,  x₁ = x₂.

c)     D < 0.  Si el discriminante es negativo, la ecuación de segundo grado no tiene solución real, ya que la raíz cuadrada de números negativos no existe.

                                D > 0, las raíces son reales e distintas

                                D = 0, las raíces son reales e iguales

                                D < 0, las raíces son complejas o conjugadas

Por ejemplo veamos el discriminante de las siguientes ecuaciones cuadráticas

1)     20x²-x-1=0

Solución: lo primero que haremos será identificar cada uno de letras de la ecuación del discriminante

D=b²-4ac

a=coeficiente del termino cuadrado en este caso es 20 positivo

b= coeficiente del termino lineal en este caso es -1

c= es el termino constante en este caso -1

Ahora que conocemos todos los elementos de la ecuación del discriminante procedemos a sustituir en la fórmula del discriminante

D= (-1)² – 4 (20) (-1)

  = 1+80

  = 81

D = 81, este es nuestro discriminante de la ecuación como podemos ver el 81 esta positivo por lo tanto es mayor que cero. Entonces nuestras raíces son veamos los tres casos descripto más arriba y nos daremos cuenta que la única opción que cumple estas condiciones es la numero a. Por lo tanto nuestras raíces son reales e distintas.

Ejemplo 2

x² + 25 = 4x – 4

Solución: antes de empezar a sustituir en la fórmula del discriminante primero debemos igualar la ecuación cuadrática a cero mediante la transposición de términos y sumando o restando los términos que sean semejantes como se muestra a continuación

x² – 4x + 25 + 4 = 0, ahora observe que tanto el 4x como el -4 pasaron al otro lado con su signo cambiado esto es lo que se llama la transposición de termino realizamos la suma o resta de los términos semejantes y tenemos lo siguiente

x² – 4x + 29 = 0

a = 1

b = -4

c = 29

Sustituimos en la fórmula del discriminante y tenemos que

D = (-4)² -4 (1) (29)

D = 16 – 116

D = -100, el discriminante es un numero negativo por tanto es menor que cero y la naturaleza de las raíces son complejas.

Guiándose de los ejemplos anteriores intente resolver los siguientes ejercicios  

I.  Determinar en las siguientes ecuaciones la naturaleza de las raíces de

a)  x² – 5 x  =  5 x  -  25

b)  x ( x + 2 )  =  - 25  -  4 x

c)   x ( x – 3 )  -  x  =  5

d)   x²  +  4 x  -  2  =  x ( 2x  +  7 ) 

e)   3 x ( x – 2 ) =  2 x ( x – 3 )  + 9

Nota

No olvide eliminar los paréntesis mediante la operación de multiplicación y luego efectuar las transposición de términos y sumar o restar o ambas si es necesarios. Si aun tiene dudas vea el siguiente vídeo.